Cho mặt cầu \(S\left( I;R \right)\) và điểm \(A\) nằm ngoài mặt cầu. Qua \(A\) kẻ đường thẳng cắt \(\left( S \right)\) tại hai điểm phân biệt \(B,C. \) Tích \(AB.AC\) bằng

* Hướng dẫn giải

+ Gọi \(D\) là điểm đối xứng của \(C\) qua \(I.\) ta suy ra \(BD\bot AC\)

+ Ta có

\(AB.AC=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\left( \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DB} \right)\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AC}=\left( \overrightarrow{AI}+\overrightarrow{ID} \right)\left( \overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IC} \right)\)

\(=\left( \overrightarrow{AI}-\overrightarrow{IC} \right)\left( \overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IC} \right)=A{{I}^{2}}-I{{C}^{2}}=A{{I}^{2}}-{{R}^{2}}.\)