Cho hai số thực \(a,b\) thỏa mãn \(1>a\ge b>0.\) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau \(T=\log _{a}^{2}b+{{\log }_{ab}}{{a}^{36}}\)

* Hướng dẫn giải

Ta có \(T=\log _{a}^{2}b+{{\log }_{ab}}{{a}^{36}}\)

\(=\log _{a}^{2}b+36.\frac{1}{{{\log }_{a}}ab}\)

\(=\log _{a}^{2}b+\frac{36}{1+{{\log }_{a}}b}\)

Đặt \(t={{\log }_{a}}b\)

Vì \(0<b\le a<1\) nên \({{\log }_{a}}b\ge {{\log }_{a}}a\Rightarrow t\ge 1.\)

Xét hàm \(f\left( t \right)={{t}^{2}}+\frac{36}{1+t}\) trên \(\left[ 1;+\infty  \right)\)

\(f'\left( t \right)=2t-\frac{36}{{{\left( t+1 \right)}^{2}}},f'\left( t \right)=0\Leftrightarrow t=2\)

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta có \({{T}_{\min }}=16\)

Dấu “=” xảy ra \(\Leftrightarrow t=2\Leftrightarrow b={{a}^{2}}.\)