Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB=2a,AC=3a,AD=4a,\widehat{BAC}=\widehat{CAD}=\widehat{DAB}={{60}^{0}}.\) Thể tích khối tứ diện \(ABCD\) bằng

* Hướng dẫn giải

Trên các cạnh \(AC,AD\) lần lượt lấy các điểm \(E,F\) sao cho \(AE=AF=2a\Rightarrow ABEF\) là tứ diện đều cạnh \(2a.\)

Gọi \(H\) là trọng tâm của \(\Delta BEF\Rightarrow BH=\frac{2a\sqrt{3}}{3}\Rightarrow AH=\sqrt{A{{B}^{2}}-B{{H}^{2}}}=\frac{2a\sqrt{6}}{3}.\)

\(\Rightarrow {{V}_{ABEF}}=\frac{1}{3}AH.{{S}_{BEF}}=\frac{1}{3}.\frac{2a\sqrt{6}}{3}.{{a}^{2}}\sqrt{3}=\frac{2\sqrt{2}{{a}^{3}}}{3}.\)

Vì \(\frac{{{V}_{ABCD}}}{{{V}_{ABEF}}}=\frac{AB}{AB}.\frac{AC}{AE}.\frac{AD}{AF}=\frac{3}{2}.A=3\Rightarrow {{V}_{ABCD}}=2\sqrt{2}{{a}^{3}}.\)