Diện tích mặt cầu ngoại tiếp một tứ diện đều cạnh \(a\) là

* Hướng dẫn giải

Xét tứ diện đều \(S.ABC.\) Gọi \(H\) là trọng tâm của \(\Delta ABC,M\) là trung điểm của \(SA,I\) là giao điểm của \(SH\) và mặt phẳng trung trực của \(SA\Rightarrow I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(S.ABC.\)

\(AH=\frac{a\sqrt{3}}{3}\Rightarrow SH=\sqrt{S{{A}^{2}}-A{{H}^{2}}}=\frac{a\sqrt{6}}{3}\Rightarrow R=SI=\frac{S{{A}^{2}}}{2SH}=\frac{3a}{2\sqrt{6}}.\)

Vậy diện tích mặt cầu là \(4.\pi .{{\left( \frac{3a}{2\sqrt{6}} \right)}^{2}}=\frac{3\pi {{a}^{2}}}{2}.\)