Cho đồ thị \(\left( {{C}_{m}} \right):y={{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+\left( 1-m \right)x+m.\) Khi \(m={{m}_{0}}\) thì \(\left( {{C}_{m}} \right)\) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có h...

* Hướng dẫn giải

Phương trình hoành độ giao điểm:

\({x^3} - 2{x^2} + \left( {1 - m} \right)x + m = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - x - m} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1\\ {x^2} - x - m = 0{\rm{ }}\left( 1 \right) \end{array} \right.\)

Giả sử \({{x}_{3}}=1\) thì yêu cầu bài toán tương đương với tìm \(m\) để \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm \({{x}_{1}},{{x}_{2}}\) phân biệt khác 1 và thỏa mãn: \(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=3.\)

Điều này tương đương với

\(\left\{ \begin{array}{l} \Delta > 0\\ 1 - 1 - m \ne 0\\ {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_2}{x_2} = 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 1 + 4m > 0\\ m \ne 0\\ {1^2} + 2m = 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow m = 1\)

Vậy giá trị cần tìm của \(m\) là \(m=1.\)