Tìm các giá trị thực của tham số \(m\) để phương trình \(\sqrt{2-x}+\sqrt{1+x}=\sqrt{m+x-{{x}^{2}}}\) có hai nghiệm phân biệt.

* Hướng dẫn giải

\(\sqrt{2-x}+\sqrt{1+x}=\sqrt{m+x-{{x}^{2}}}\left( 1 \right)\)

Điều kiện: \(-1\le x\le 2.\)

Phương trình trở thành: \(2-x+1+x+2\sqrt{2+x-{{x}^{2}}}=m+x-{{x}^{2}}.\)

\(\Leftrightarrow 2\sqrt{2+x-{{x}^{2}}}=\left( 2+x-{{x}^{2}} \right)+m-5\)

Đặt \(t=\sqrt{2+x-{{x}^{2}}}.\)

Xét hàm số \(f\left( x \right)=2+x-{{x}^{2}}\) trên \(\left[ -1;2 \right].\)

\(f'\left( x \right)=-2x+1.\)

\(f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}\Rightarrow y=\frac{9}{4}.\)

Bảng biến thiên:

Vậy \(t\in \left[ 0;\frac{3}{2} \right].\)

Phương trình trở thành:

\(m=-{{t}^{2}}+2t+5\left( 2 \right)\) với \(t\in \left[ 0;\frac{3}{2} \right].\)

Xét hàm số \(g\left( x \right)=-{{t}^{2}}+2t+5.\)

\(g'\left( t \right)=-2t+2.\)

\(g'\left( t \right)=0\Leftrightarrow t=1\Rightarrow f\left( 1 \right)=6.\)

\(g\left( 0 \right)=5;g\left( \frac{3}{2} \right)=\frac{23}{4}.\)

Bảng biến thiên:

Cứ 1 nghiệm \(t\in \left[ 0;\frac{3}{2} \right)\) thì tồn tại 2 nghiệm \(x\in \left[ -1;2 \right].\)

Vậy để phương trình \(\left( 1 \right)\) có 2 nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow \) phương trình \(\left( 2 \right)\) có 1 nghiệm \(t\in \left[ 0;\frac{3}{2} \right).\)

Dựa vào bảng biến thiên ta có \(m\in \left[ 5;\frac{23}{4} \right)\cup \left\{ 6 \right\}.\)