Cho hàm số \(y=f\left( x \right).\) Hàm số \(y=f'\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên. ​ Hàm số \(g\left( x \right)=f\left( x+1 \right)+\frac{{{x}^{3}}}{3}-3x\) nghịch bi...

* Hướng dẫn giải

Ta có \(g'\left( x \right)=f'\left( x+1 \right)+{{x}^{2}}-3\)

Cho \(g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow f'\left( x+1 \right)=3-{{x}^{2}}\)

Đặt \(t=x+1\)

Suy ra \(f'\left( t \right)=-{{t}^{2}}+2t+2\)

Gọi \(h\left( t \right)=-{{t}^{2}}+2t+2\Rightarrow g'\left( t \right)=f'\left( t \right)-h\left( t \right)\)

Đồ thị \(y=h\left( t \right)\) có đỉnh \(I\left( 1;3 \right);t=3\Rightarrow h\left( 3 \right)=-1;t=0\Rightarrow h\left( 0 \right)=2\)

Sau khi vẽ \(h\left( t \right)=-{{t}^{2}}+2t+2\) ta được hình vẽ bên

Hàm số nghịch biến khi \(g'\left( t \right)\le 0\Leftrightarrow f'\left( t \right)-h\left( t \right)\le 0\Leftrightarrow 0\le t\le 3\)

Suy ra \(0\le x+1\le 3\Leftrightarrow -1\le x\le 2\)

Vậy hàm số \(y=g\left( x \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( -1;2 \right).\)