Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật có \(AB=a;BC=2a.\) Hai mặt phẳng \(\left( SAB \right)\) và mặt phẳng \(\left( SAD \right)\) cùng vuông góc với mặt phẳng đ...

* Hướng dẫn giải

Ta có \(\left. \begin{array}{l} \left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\ \left( {SAD} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\ \left( {SAB} \right) \cap \left( {SAD} \right) = SA \end{array} \right\} \Rightarrow SA \bot \left( {ABCD} \right).\)

\({{S}_{ABCD}}=AB.BC=a.2a=2{{a}^{2}}.\)

Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(B\) có: \(AC=\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+4{{a}^{2}}}=a\sqrt{5}.\)

Góc giữa \(SC\) tạo với mặt phẳng đáy là \(\widehat{SCA}.\)

Xét \(\Delta SAC\) vuông tại \(A\) có: \(\tan {{60}^{0}}=\frac{SA}{AC}\Leftrightarrow SA=AC.\tan {{60}^{0}}=a\sqrt{5}.\sqrt{3}=a\sqrt{15}.\)

\({{V}_{S.ABCD}}=\frac{1}{3}.{{S}_{ABCD}}.SA=\frac{1}{3}.2{{a}^{2}}.a\sqrt{15}=\frac{2{{a}^{3}}\sqrt{15}}{3}.\)