Cho \(x,y,z\) là ba số dương lập thành cấp số nhân; còn \({{\log }_{a}}x;{{\log }_{\sqrt{a}}}y;{{\log }_{\sqrt[3]{a}}}z\) lập thành cấp số cộng. Tính giá trị của biểu thức \(Q=\fra...

* Hướng dẫn giải

Theo bài ra, \(x,y,z\) là ba số dương lập thành cấp số nhận và \({{\log }_{a}}x;{{\log }_{\sqrt{a}}}y;{{\log }_{\sqrt[3]{a}}}z\) lập thành cấp số cộng nên ta có: 

\(\left\{ \begin{array}{l} xz = {y^2}\\ {\log _a}x + {\log _{\sqrt[3]{a}}}z = 2{\log _{\sqrt a }}y \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x.z = {y^2}\\ {\log _a}x + 3{\log _a}z + 4{\log _a}y \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x.z = {y^2}\\ {\log _a}x{z^3} = {\log _a}{y^4} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} xz = {y^2}\\ x{z^3} = {y^4} \end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x.z = {y^2}\\ {y^2}{z^2} = {y^4} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x.y = {y^2}\\ z = y \end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = z.\)

Do đó: \(Q=\frac{2017x}{y}+\frac{2y}{z}+\frac{z}{x}=\frac{2017x}{x}+\frac{2x}{x}+\frac{x}{x}=2017+2+1=2020.\)