Gọi \(S\) là tổng các nghiệm của phương trình \(\log _{\frac{1}{2}}^{2}x-6{{\log }_{8}}\left( 4x \right)+1=0.\) Tính giá trị của \(S.\)

* Hướng dẫn giải

Điều kiện: \(x>0.\)

\(\log _{\frac{1}{2}}^{2}x-6{{\log }_{6}}\left( 4x \right)+1=0.\)

\(\Leftrightarrow \log _{{{2}^{-1}}}^{2}x-6{{\log }_{{{2}^{3}}}}\left( 4x \right)+1=0.\)

\(\Leftrightarrow \log _{2}^{2}x-2\left( \log _{2}^{{}}4+{{\log }_{2}}x \right)+1=0.\)

\(\Leftrightarrow \log _{2}^{2}x-2{{\log }_{2}}x-3=0.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {\log _2}x = - 1\\ {\log _2}x = 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{1}{2}\left( {TM} \right)\\ x = 8\left( {TM} \right) \end{array} \right..\)

Vậy \(S=\frac{1}{2}+8=\frac{17}{2}.\)