Tổng tất cả nghiệm của phương trình \(\sin 2x+4\sin x-2\cos x-4=0\) trên đoạn \(\left[ 0;100\pi \right]\).

* Hướng dẫn giải

Ta có \(\sin 2x+4\sin x-2\cos x-4=0\Leftrightarrow \left( \sin 2x+4\sin x \right)-2\left( \cos x+2 \right)=0\)

\(\Leftrightarrow 2\sin x\left( \cos x+2 \right)-2\left( \cos x+2 \right)=0\)

\(\Leftrightarrow \left( 2\sin x-2 \right)\left( \cos x+2 \right)=0\).

\(\Leftrightarrow \sin x=1\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{2}+k2\pi ,\left( k\in \mathbb{Z} \right).\)

Trên đoạn \(\left[ 0;100\pi  \right]\) ta có \(0\le x\le 100\pi .\)

\(\Leftrightarrow 0\le \frac{\pi }{2}+k2\pi \le 100\pi \Leftrightarrow \frac{-1}{4}\le k\le \frac{199}{4}\)

Với \(K\in \mathbb{Z}\) ta có \(K\in \left\{ 0;1;2;....;48;49 \right\}.\)

Vậy tổng các nghiệm của phương trình trên đoạn \(\left[ 0;100\pi  \right]\) là

\(S=\frac{\pi }{2}+\left( \frac{\pi }{2}+2\pi  \right)+\left( \frac{\pi }{2}+2.2\pi  \right)+\left( \frac{\pi }{2}+3.2\pi  \right)+...+\left( \frac{\pi }{2}+49.2\pi  \right)\)

\(=\frac{50\pi }{2}+\left( 1+2+...+49 \right).2\pi =2475\pi .\)