Tập nghiệm của bất phương trình \({{6.9}^{x}}-{{12.6}^{x}}+{{6.4}^{x}}\le 0\) có dạng \(S=\left[ a;b \right].\) Giá trị của biểu thức \({{a}^{2}}+{{b}^{2}}\) bằng

* Hướng dẫn giải

Ta có: \({{6.9}^{x}}-{{13.6}^{x}}+{{6.4}^{x}}\le 0\Leftrightarrow 6.{{\left( \frac{9}{4} \right)}^{x}}-13.{{\left( \frac{6}{4} \right)}^{2}}+6\le 0\Leftrightarrow 6.{{\left( \frac{3}{2} \right)}^{2x}}-13.{{\left( \frac{3}{2} \right)}^{x}}+6\le 0\left( 1 \right).\)

Đặt \({{\left( \frac{3}{2} \right)}^{x}}=t;\left( t>0 \right)\)

\(\left( 1 \right)\Leftrightarrow 6{{t}^{2}}-13t+6\le 0\Leftrightarrow \frac{2}{3}\le t\le \frac{3}{2}\Leftrightarrow \frac{2}{3}\le {{\left( \frac{3}{2} \right)}^{2}}\le \frac{3}{2}\Leftrightarrow -1\le x\le 1.\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S=\left[ -1;1 \right]\Rightarrow a=-1;b=1\Rightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=2.\)