Gọi \(S\) là tập hợp các số tự nhiên có bốn chữ số đôi một khác nhau lập từ các số \(0;1;2;3;4;5;6;7.\) Chọn ngẫu nhiên 1 số từ tập hợp \(S.\) Tính xác suất để số được chọn có đúng...

* Hướng dẫn giải

Đặt \(A=\left\{ 0;1;2;3;4;5;6;7 \right\}.\)

Gọi số tự nhiên cần tìm có 4 chữ số khác nhau thỏa mãn đề bài là \(\overline{abcd}\left( a\ne 0 \right).\)

Số phần tử của \(S\) là \(7.A_{7}^{3}=1470.\)

* Số có 4 chữ số khác nhau sao cho có đúng 2 chữ số chẵn.

TH1: Tìm số có 4 chữ số khác nhau sao cho có đúng 2 chữ số chẵn (bao gồm cả số có chữ số 0 đứng đầu).

+ Chọn 2 chữ số chẵn trong tập \(A\Rightarrow \) có \(C_{4}^{2}\) cách.

+ Chọn 2 chữ số lẻ trong tập \(A\Rightarrow \) có \(C_{4}^{2}\) cách.

Vì là 4 chữ số khác nhau nên ta có \(C_{4}^{2}.C_{4}^{2}.4!=864\) số.

TH2: Tìm số có 4 chữ số khác nhau sao cho có đúng 2 chữ số chẵn (chữ số 0 luôn đứng đàu)

+ Xếp chữ số 0 vào vị trí đầu tiên \(\Rightarrow \) có 1 cách.

+ Chọn 1 chữu số chẵn trong tập \(A\backslash \left\{ 0 \right\}\Rightarrow \) có \(C_{3}^{1}\) cách.

+ Chọn 2 chữ số lẻ trong tập \(A\Rightarrow \) có \(C_{4}^{2}\) cách.

Vì là 4 chữ số khác nhau mà chữ số 0 luôn đứng đầu nên ta có \(C_{3}^{1}.C_{4}^{2}.3!=108\) số.

Vậy có \(864-108=756\) số thỏa mãn yêu cầu.

* Không gian mẫu: \(n\left( \Omega  \right)=C_{1470}^{1}=1470.\)

\(A\) là biến cố “Số được chọn có đúng 2 chữ số chẵn” \(\Rightarrow n\left( A \right)=C_{756}^{1}=756.\)

Vậy \(P\left( A \right)=\frac{n\left( A \right)}{n\left( \Omega  \right)}=\frac{756}{1470}=\frac{18}{35}.\)