Cho hàm số \(y=\frac{x+m}{x-3}(m\) là tham số) thỏa mãn \(\underset{\left[ -1;2 \right]}{\mathop{\min }}\,y=-2.\) Mệnh đề nào dưới đây đúng?

* Hướng dẫn giải

Hàm số \(y=\frac{x+m}{x-3}\) liên tục trên đoạn \(\left[ -1;2 \right]\) và có đạo hàm \(y'=\frac{-3-m}{{{\left( x-3 \right)}^{2}}}\)

Nếu \(y'>0\Leftrightarrow m<-3\) thì hàm số đồng biến trên đoạn \(\left[ -1;2 \right]\) nên \(\underset{\left[ -1;2 \right]}{\mathop{\min }}\,y=y\left( -1 \right)=\frac{-1+m}{-4}=-2\Leftrightarrow m=9\) không thỏa mãn.

Nếu \(y'<0\Leftrightarrow m>-3\) hàm số nghịch biến trên đoạn \(\left[ -1;2 \right]\) nên \(\underset{\left[ -1;2 \right]}{\mathop{\min }}\,y=y\left( 2 \right)=\frac{2+m}{-1}=-2\Leftrightarrow m=0\) thỏa mãn.

Vậy đáp án B đúng.