Cho bất phương trình \(\ln \left( {{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+m \right)\ge \ln \left( {{x}^{2}}+5 \right).\) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\in \left[ -20;20 \right]\) để bất...

* Hướng dẫn giải

Theo yêu cầu bài toán ta có:

\(\ln \left( {{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+m \right)\ge \ln \left( {{x}^{2}}+5 \right),\forall x\in \left[ 0;3 \right]\Leftrightarrow {{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+m\ge {{x}^{2}}+5,\forall x\in \left[ 0;3 \right]\)

\(\Leftrightarrow m\ge -{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+5,\forall x\in \left[ 0;3 \right]\)

\(\Leftrightarrow m\ge \underset{\left[ 0;3 \right]}{\mathop{\max }}\,\left( -{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+5 \right)\)

Xét hàm số \(f\left( x \right) = - {x^3} + 3{x^2} + 5,\forall x \in \left[ {0;3} \right] \Rightarrow f'\left( x \right) = - 3{x^2} + 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 2 \end{array} \right..\)

Ta có: \(f\left( 0 \right)=5,f\left( 2 \right)=9,f\left( 3 \right)=5\Rightarrow \underset{\left[ 0;3 \right]}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right)=9.\)

Do đó ta được \(m\ge 9,\) kết hợp với điều kiện \(m\in \left[ -20;20 \right]\) nên \(m\in \left\{ 9;10;11;...;20 \right\}\) do đó có 12 giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn bài toán.