Cho phương trình \(\log _{3}^{2}x-\left( 2m+1 \right){{\log }_{3}}x+{{m}^{2}}+m=0.\) Gọi \(S\) là tập hợp các giá trị của tham số thực \(m\) để phương trình có hai nghiệm phân biệt...

* Hướng dẫn giải

Đặt \(t={{\log }_{3}}x.\) Khi đó phương trình trở thành: \({{t}^{2}}-\left( 2m+1 \right)t+{{m}^{2}}+m=0\left( * \right).\)

Nhận xét: Ứng với mỗi nghiệm \(t\) của phương trình \(\left( * \right)\) có một nghiệm \(x>0.\)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm dương phân biệt khi phương trình \(\left( * \right)\) có hai nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow \Delta >0\Leftrightarrow \Delta ={{\left( 2m+1 \right)}^{2}}-4\left( {{m}^{2}}+m \right)=1>0.\)

Vậy phương trình \(\left( * \right)\) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi \(m.\)

Khi đó \({{t}_{1}}=\frac{2m+1+1}{2}=m+1\Rightarrow {{x}_{1}}={{3}^{m+1}};{{t}_{2}}=\frac{2m+1-1}{2}=m\Rightarrow {{x}_{2}}={{3}^{m}}\) với \({{x}_{1}}<{{x}_{2}}.\)

Theo đề bài

\(\left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 3} \right) = 48 \Leftrightarrow \left( {{3^m} + 1} \right)\left( {{3^{m + 1}} + 3} \right) = 48 \Leftrightarrow {3.3^{2m}} + {6.3^m} - 45 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {3^m} = 3\\ {3^m} = - 5 \end{array} \right. \Leftrightarrow m = 1.\)

Kết luận: Số phần tử của tập  là 1.