Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại \(B\) có \(AC=2A. \) Cạnh \(SA\) vuông góc với đáy và \(SA=2A. \) Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(A,\) vuông góc vớ...

* Hướng dẫn giải

Từ \(A\) kẻ đường thẳng vuông góc \(SB,\) cắt \(SB\) tại \(K.\)

Từ \(K\) kẻ đường thẳng vuông góc với \(SB\) cắt \(SC\) tại \(H.\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} BC \bot SA\\ BC \bot AB \end{array} \right. \Rightarrow CB \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot SB,\) suy ra BC//HK.

Tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(B\) nên \(AB=BC=\frac{AC}{\sqrt{2}}=a\sqrt{2}.\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(SAB\) ta có:

\(S{{A}^{2}}=SK.SB\Leftrightarrow \frac{SK}{SB}=\frac{S{{A}^{2}}}{S{{B}^{2}}}=\frac{S{{A}^{2}}}{A{{B}^{2}}+A{{S}^{2}}}=\frac{4{{a}^{2}}}{2{{a}^{2}}+4{{a}^{2}}}=\frac{2}{3}.\)

Vì \(BC//HK\) nên \(\frac{SH}{SC}=\frac{SK}{SB}=\frac{2}{3}.\)

Ta có: \(\frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\frac{SA}{SA}.\frac{SK}{SB}.\frac{SH}{SC}=1.\frac{2}{3}.\frac{2}{3}=\frac{4}{9}\Rightarrow {{V}_{1}}=\frac{4}{9}{{V}_{S.ABC}}\Rightarrow {{V}_{2}}=\frac{5}{9}{{V}_{S.ABC}}.\)

Vậy \(\frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\frac{4}{5}.\)