Gọi \(S\) là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số \(m\) sao cho giá trị lớn nhất của hàm số \(y=\left| \frac{1}{4}{{x}^{4}}-\frac{19}{2}{{x}^{2}}+30x+m-20 \right|\) trên đoạn...

* Hướng dẫn giải

Xét hàm số \(g\left( x \right)=\frac{1}{4}{{x}^{4}}-\frac{19}{2}{{x}^{2}}+30x+m-20\) trên đoạn \(\left[ 0;\,2 \right]\)

Ta có \({g}'\left( x \right)={{x}^{3}}-19x+30\); \(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 5 \notin \left[ {0;\,2} \right]\\ x = 2\\ x = 3 \notin \left[ {0;\,2} \right] \end{array} \right.\)

Bảng biến thiên

\(g\left( 0 \right)=m-20\); \(g\left( 2 \right)=m+6\).

Để \(\underset{\left[ 0;\,2 \right]}{\mathop{\max }}\,\left| g\left( x \right) \right|\le 20\) thì  

\(\left\{ \begin{array}{l} g\left( 0 \right) \le 20\\ g\left( 2 \right) \le 20 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left| {m - 20} \right| \le 20\\ \left| {m + 6} \right| \le 20 \end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow 0\le m\le 14\).

Mà \(m\in \mathbb{Z}\) nên \(m\in \left\{ 0;\,1;\,2;...;\,14 \right\}\).

Vậy tổng các phần tử của \(S\) là 105.