Tính tổng \(S\) của các phần thực của tất cả các số phức \(z\) thỏa mãn điều kiện \(\bar{z}=\sqrt{3}{{z}^{2}}.\)

* Hướng dẫn giải

Đặt \(z=a+bi,\left( a,b\in \mathbb{R} \right)\).

\(a-bi=\sqrt{3}{{\left( a+bi \right)}^{2}}\)\(\Leftrightarrow a-bi=\sqrt{3}\left( {{a}^{2}}-{{b}^{2}}+2abi \right)\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \sqrt 3 \left( {{a^2} - {b^2}} \right) = a\,\,\left( 1 \right)\\ \sqrt 3 2ab = - b\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right) \end{array} \right.\,\,\,\).

\(\left( 2 \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} b = 0\\ \sqrt 3 .2a = - 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} b = 0\\ a = - \frac{{\sqrt 3 }}{6} \end{array} \right.\).

Với \(b = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} a = 0\\ a = \frac{{\sqrt 3 }}{3} \end{array} \right.\).

\(a=-\frac{\sqrt{3}}{6}\Rightarrow b=\pm \frac{1}{2}\) \(\Rightarrow S=\frac{\sqrt{3}}{3}-\frac{\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{6}\).