Cho phương trình \({{\log }_{2}}\left( {{5}^{x}}-1 \right).{{\log }_{4}}\left( {{2.5}^{x}}-2 \right)=m\). Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên \(m\) để phương trình có nghiệm thuộc đoạn...

* Hướng dẫn giải

Điều kiện \(x>0\).

\({{\log }_{2}}\left( {{5}^{x}}-1 \right).{{\log }_{4}}\left( {{2.5}^{x}}-2 \right)=m\)\(\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( {{5}^{x}}-1 \right)\left[ \frac{1}{2}{{\log }_{2}}\left( {{5}^{x}}-1 \right)+\frac{1}{2} \right]=m\,\,\,\left( 1 \right)\).

Đặt \(t={{\log }_{2}}\left( {{5}^{x}}-1 \right)\).

Ta có phương trình \(\frac{1}{2}\left( {{t}^{2}}+t \right)=m\,\,\left( 2 \right)\).

Để phương trình \(\left( 1 \right)\) có nghiệm trên đoạn \(\left[ 1;\,{{\log }_{5}}9 \right]\)thì phương trình \(\left( 2 \right)\) có nghiệm trên đoạn \(\left[ 2;\,3 \right]\).

Xét hàm số \(f\left( t \right)=\frac{1}{2}\left( {{t}^{2}}+t \right)\) trên đoạn \(\left[ 2;\,3 \right]\).

Ta có \({f}'\left( t \right)=t+\frac{1}{2}\)\(\Rightarrow {f}'\left( t \right)=0\Leftrightarrow t=-\frac{1}{2}\).

Bảng biến thiên

Suy ra phương trình \(\left( 2 \right)\) có nghiệm trên đoạn \(\left[ 2;\,3 \right]\) khi \(3\le m\le 6\).

Vật có 4 giá trị nguyên \(m\) để phương trình \(\left( 1 \right)\) có nghiệm thuộc đoạn \(\left[ 1;\,{{\log }_{5}}9 \right]\).