Cho hai số phức \({{z}_{1}},{{z}_{2}}\) thỏa mãn \(\left| {{z}_{1}}+1-i \right|=2\) và \({{z}_{2}}=i{{z}_{1}}\). Tìm giá trị nhỏ nhất \(m\) của biểu thức \(\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2...

* Hướng dẫn giải

Đặt \({{z}_{1}}=a+bi;\text{ }a,b\in \mathbb{R}\) \(\Rightarrow {{z}_{2}}=-b+ai\)

\(\Rightarrow {{z}_{1}}-{{z}_{2}}=\left( a+b \right)+\left( b-a \right)i\).

Nên \(\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=\sqrt{{{\left( a+b \right)}^{2}}+{{\left( b-a \right)}^{2}}}=\sqrt{2}.\left| {{z}_{1}} \right|\)

Ta lại có \(2=\left| {{z}_{1}}+1-i \right|\le \left| {{z}_{1}} \right|+\left| 1-i \right|=\left| {{z}_{1}} \right|+\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow \left| {{z}_{1}} \right|\ge 2-\sqrt{2}\) . Suy ra \(\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=\sqrt{2}.\left| {{z}_{1}} \right|\ge 2\sqrt{2}-2\).

Dấu ''='' xảy ra khi \(\frac{a}{1}=\frac{b}{-1}<0\).

Vậy \(m=\min \left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=2\sqrt{2}-2\).