Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh bằng a; SA vuông góc với đáy,\(SA=a\sqrt{3}\). Tính cosin góc giữa SB và AC.

* Hướng dẫn giải

Gọi \(\alpha \) là góc giữa \(SB\)và \(AC\)

Gọi I là trung điểm của SD\(\Rightarrow OI\) là đường trung bình của \(\Delta SBD\)

\(\Rightarrow OI//SB\), \(OI=\frac{SB}{2}=\frac{\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{B}^{2}}}}{2}=\frac{\sqrt{3{{a}^{2}}+{{a}^{2}}}}{2}=a\)

Vì \(OI//SB\)\(\Rightarrow \alpha \) bằng góc giữa \(OI\) và \(AC\) hay \(\alpha =\widehat{AOI}\)

Ta có: \(AI=\frac{SD}{2}=\frac{\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{D}^{2}}}}{2}=\frac{\sqrt{3{{a}^{2}}+{{a}^{2}}}}{2}=a\)\(\Rightarrow AI=OI\Rightarrow \Delta AOI\) cân tại I.

Gọi H là trung điểm của \(OA\Rightarrow IH\bot OA\)

Và \(OH=\frac{OA}{2}=\frac{AC}{4}=\frac{a\sqrt{2}}{4}\). Xét \(\Delta OHI\), ta có: \(\cos \widehat{HOI}=\frac{OH}{OI}=\frac{\frac{a\sqrt{2}}{4}}{a}=\frac{\sqrt{2}}{4}\)

Vậy \(\cos \alpha =\cos \widehat{HOI}=\frac{\sqrt{2}}{4}\).