Cho hình lăng trụ đứng \(ABCA'B'C'\), biết \(\vartriangle ABC\) vuông tại \(A\) và \(AB=a;\,AC=a\sqrt{3}\). Khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \((BCC'B')\) bằng:

* Hướng dẫn giải

Gọi \(H\) là chân đường cao hạ từ \(A\) xuống \(BC\).

Vì lăng trụ \(ABCA'B'C'\) là lăng trụ đứng nên

\(\begin{align} & BB'\bot (ABC) \\ & \Rightarrow BB'\bot AH\subset (ABC) \\ \end{align}\)

Do đó ta có

\(\left. \begin{array}{l} AH \bot BC\\ AH \bot BB'\\ BC \cap BB' = B \end{array} \right\} \Rightarrow AH \bot (BCC'B') \Rightarrow d(A;(BCC'B') = AH\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(\vartriangle ABC\) ta có

\(\begin{align} & \frac{1}{A{{H}^{2}}}=\frac{1}{A{{B}^{2}}}+\frac{1}{A{{C}^{2}}}=\frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{(a\sqrt{3})}^{2}}}=\frac{4}{3{{a}^{2}}} \\ & \Rightarrow AH=\frac{a\sqrt{3}}{2} \\ \end{align}\)