Gọi M và m là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của H = \(\left( x+y \right)\,\left( \frac{1}{x}+\frac{1}{y} \right)\). Biết x, y thoả mãn điều kiện \(1\le x\le y\le 2.\) Hỏi gi...

* Hướng dẫn giải

Ta có H = \(\left( x+y \right)\,\left( \frac{1}{x}+\frac{1}{y} \right)\,=\,2+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\).

Vì thế nếu đặt \(t=\frac{x}{y}\) ta có hàm số theo biến số t sau: \(H(t)=\,2+t+\frac{1}{t}.\)

Từ điều kiện ràng buộc \(1\le x\le y\le 2\) ta suy ra: \(\frac{1}{2}\le \frac{x}{y}\le 1\), do đó \(t\in \left[ \,\frac{1}{2};\,1 \right]\).

Bài toán trở thành: Tìm GTLN và GTNN của hàm số \(H(t)=\,2+t+\frac{1}{t}\) trên \(\left[ \frac{1}{2}\,\,;\,\,1 \right]\).

Vì \({{H}^{'}}(t)=\,\frac{1-{{t}^{2}}}{{{t}^{2}}}\le 0\,\,\,\forall t\in \left[ \frac{1}{2}\,;\,1 \right]\) nên H(t) là hàm số nghịch biến trên đoạn \(\left[ \frac{1}{2}\,\,;\,\,1 \right]\)

Từ đó: GTLN của H(t) trên đoạn \(\left[ \frac{1}{2}\,\,;\,\,1 \right]\) là \(\frac{9}{2}\) khi: t =\(\frac{1}{2}\).

GTNN trên đoạn này của H(t) bằng 4 khi: t = 1.

Đáp số: Max(H) = \(\frac{9}{2}\) \(\Leftrightarrow \)(x; y) = (1; 2) ; Min(H) = 4 \(\Leftrightarrow \) x = y (với \(1\le x,y\le 2).\)