Có bao nhiêu số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| z-1+5i \right|=\sqrt{13}\) và \)(1+i)z+(2-i)\overline{z}\) là một số thuần ảo?

* Hướng dẫn giải

Gọi \(z=x+yi\,;\,M(x;y)\,\) là điểm biểu diễn số phức \(z\)

Khi đó \((1+i)z+(2-i)\overline{z}=(1+i)(x+yi)+(2-i)(x-yi)=3x-2y-bi\) là một số thuần ảo

\(\Rightarrow 3x-2y=0\)

Mặt khác \(\left| z-1+5i \right|=\sqrt{13}\Leftrightarrow {{(x-1)}^{2}}+{{(y+5)}^{2}}=13\)

Như vậy điểm \(M(x;y)\) vừa thuộc đường tròn \((C):\,\,\,{{(x-1)}^{2}}+{{(y+5)}^{2}}=13\) có tâm I(1;-5), bán kính \(R=\sqrt{13}\) ; vừa thuộc đường thẳng \(\,\Delta :\,\,\,3x-2y=0\)

Ta có \(d(I;\Delta )=\frac{\left| 3.1-2.(-5) \right|}{\sqrt{{{3}^{2}}+{{(-2)}^{2}}}}=\frac{13}{\sqrt{13}}=\sqrt{13}=R\)

Vậy \(\Delta \) tiếp xúc với đường tròn (C) nên có một số phức \(z\) thỏa mãn đề bài