Một hộp nữ trang (tham khảo hình vẽ). Biết \(AB=16cm;AD=\frac{8\sqrt{3}}{3}cm;AE=22cm\). Các tứ giác ABFE và DCGH, AEHD và BFGC, ABCD và EFGH là các hình chữ nhật bằng nhau từng đô...

* Hướng dẫn giải

Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(FE\). Thể tích của hộp nữ trang là hai lần thể tích của của lăng trụ đứng tam giác \(MBC.NFG\) và một phần thể tích của hình trụ có tâm hai đáy là M và N và bán kính hình trụ là \(MC\).

\({{V}_{MBC.NFG~}}={{S}_{\Delta MBC}}.BF=\frac{1}{2}.8.\frac{16\sqrt{3}}{3}.22=\frac{1408\sqrt{3}}{3}\left( c{{m}^{3}} \right)\), \(MC=\frac{16\sqrt{3}}{3}cm.\)

Thể tích của hình trụ có chiều cao \(h=22cm,\) và bán kính đáy \(r=\frac{16\sqrt{3}}{3}cm\) là \({{V}_{tru}}=\pi .{{r}^{2}}.h=\pi .\frac{256}{3}.22=\frac{5632\pi }{3}\left( c{{m}^{3}} \right)\)

Xét \(\Delta MCD\) ta có \(\text{cos}\widehat{CMD}=\frac{M{{D}^{2}}\text{+M}{{\text{C}}^{2}}\text{-}C{{D}^{2}}}{\text{2MC}\text{.MD}}\text{.}\Leftrightarrow \text{cos}\widehat{CMD}=\frac{\frac{256}{3}+\frac{256}{3}-256}{2.\frac{256}{3}}=-\frac{1}{2}\Rightarrow \widehat{CMD}={{120}^{0}}.\)

Thể tích của hộp nữ trang là: \(V=2.\frac{1408\sqrt{3}}{3}+\frac{1}{3}.\frac{5632\pi }{3}\approx 3591,75\left( c{{m}^{3}} \right)\).