Cho hàm số \(y=f\left( x \right)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d,\left( a,b,c\in \mathbb{R},a\ne 0 \right)\(có đồ thị \(\left( C \right)\). Biết rằng đồ thị \(\left( C \right)\) tiếp xú...

* Hướng dẫn giải

Từ đồ thị suy ra \({f}'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-3\).

\(f\left( x \right)=\int{{f}'\left( x \right)\text{d}x=\int{\left( 3{{x}^{2}}-3 \right)\text{d}x={{x}^{3}}-3x+C}}\).

Do \(\left( C \right)\) tiếp xúc với đường thẳng \(y=9x-18\) tại điểm có hoành độ \({{x}_{0}}\) dương nên \({f}'\left( {{x}_{0}} \right)=9\Leftrightarrow 3x_{0}^{2}-3=9\Leftrightarrow {{x}_{0}}=2\).

Suy ra \(f\left( 2 \right)=0\Leftrightarrow C=-2\) \(\Rightarrow \left( C \right):y={{x}^{3}}-3x-2\)

Xét phương trình \({x^3} - 3x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 2\\ x = - 1 \end{array} \right.\).

Diện tích hình phẳng cần tìm là: \(S=\int_{-1}^{2}{\left| {{x}^{3}}-3x-2 \right|\text{d}x}=\frac{27}{4}\).