Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| z-1+i \right|=2\). Giá trị lớn nhất của biểu thức \(P={{\left| z+2-i \right|}^{2}}+{{\left| z-2-3i \right|}^{2}}\) bằng:

* Hướng dẫn giải

Gọi \(z=x+yi\,\,\,(x;y\in \mathbb{R})\,\)

Ta có:

\(\left| z-1+i \right|=2\Leftrightarrow {{(x-1)}^{2}}+{{(y+1)}^{2}}=4\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=2x-2y+2\,\,\,(*)\)

Khi đó

\(\begin{array}{l} P = {\left| {z + 2 - i} \right|^2} + {\left| {z - 2 - 3i} \right|^2} = {(x + 2)^2} + {(y - 1)^2} + {(x - 2)^2} + {(y - 3)^2}\\ = 2{x^2} + 2{y^2} - 8y + 18 = 2({x^2} + {y^2}) - 8y + 18\,\,(**) \end{array}\)

Thay (*) vào (**) ta có

\(\begin{array}{l} P = 4x - 4y + 4 - 8y + 18 = 4x - 12y + 22\\ = 4(x - 1) - 12(y + 1) + 38\\ \le \sqrt {({4^2} + {{12}^2}){\rm{[}}{{(x - 1)}^2} + {{(y + 1)}^2}{\rm{]}}} + 38 = \sqrt {({4^2} + {{12}^2}).4} + 38 = 8\sqrt {10} + 38\,\, \end{array}\)

Vậy \({{P}_{max}}=8\sqrt{10}+38\)