Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-4y+6z-13=0\) và đường thẳng \(d:\frac{x+1}{1}=\frac{y+2}{1}=\frac{z-1}{1}.\) Biết điểm \(...

* Hướng dẫn giải

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( 1;2;-3 \right)\) và có bán kính \(R=3\sqrt{3}\).

Vì \(MA\), \(MB\) và \(MC\) là các tiếp tuyến của \(\left( S \right)\) nên \(MA=MB=MC\) nên \(MI\) là trục của tam giác \(ABC\).

Đặt \(MA=x\). Khi đó \(AB=x\). \(BC=x\sqrt{2}\)và \(CA=x\sqrt{3}\). Như vậy \(A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}=A{{C}^{2}}\)\(\Rightarrow \) tam giác \(ABC\)vuông tại \(B\).

Gọi \(J\) là trung điểm \(AC\) ta có \(J\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\)\(\Rightarrow J\in MI\) và \(BJ=\frac{1}{2}AC=\frac{x\sqrt{3}}{2}\).

Trong tam giác vuông \(MBI\) ta có: \(\frac{1}{B{{J}^{2}}}=\frac{1}{M{{B}^{2}}}+\frac{1}{B{{I}^{2}}}\)\(\Leftrightarrow \frac{4}{3{{x}^{2}}}=\frac{1}{{{x}^{2}}}+\frac{1}{27}\)\(\Leftrightarrow x=3\).

\(M{{I}^{2}}=M{{B}^{2}}+I{{B}^{2}}\)\(=9+27\)\(=36\)\(\Rightarrow MI=6\).

Phương trình tham số của \(d:\left\{ \begin{array}{l} x = - 1 + t\\ y = - 2 + t\\ z = 1 + t \end{array} \right.\).

\(M\in d\) nên \(M\left( -1+t;-2+t;1+t \right)\) với \(t<1\) (vì \(a=-1+t<0\))

\(MI = 6 \Leftrightarrow {\left( {2 + t} \right)^2} + {\left( {4 - t} \right)^2} + {\left( {4 + t} \right)^2} = 36\).

\(\Leftrightarrow 3{t^2} - 4t = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = 0\\ t = \frac{4}{3}\,\,\,\left( L \right) \end{array} \right.\)