Một sợi dây kim loại dài a (cm). Người ta cắt sợi dây đó thành hai đoạn

* Hướng dẫn giải

Do x là độ dài của đoạn dây cuộn thành hình tròn (0 < x < a). Suy ra chiều dài đoạn còn lại là  $a-x$

Gọi r là bán kính của đường tròn. Chu vi đường tròn:  $2\pi r=x\Rightarrow r=\frac{x}{2\pi }$

Do đó diện tích hình tròn là:  $S_1=\pi .r^2=\frac{x^2}{4\pi }$

Chu vi hình vuông là $a-x\Rightarrow$ cạnh hình vuông là:  $\frac{a-x}{4}$

Do đó diện tích hình vuông : $S_2={\left(\frac{a-x}{4}\right)}^2$ 

Tổng diện tích hai hình:

$S=\frac{x^2}{4\pi }+{\left(\frac{a-x}{4}\right)}^2=\frac{4x^2+\pi {\left(a-x\right)}^2}{16\pi }=\frac{\left(4+\pi \right).x^2-2a\pi x+\pi a^2}{16\pi }$

Xét hàm số $S\left(x\right)=\frac{\left(4+\pi \right).x^2-2a\pi x+\pi a^2}{16\pi }$ ta có  $S\text{'}\left(x\right)=\frac{2\left(4+\pi \right).x-2a\pi }{16\pi }=\frac{\left(4+\pi \right).x-a\pi }{8\pi }$

Cho $S\text{'}\left(x\right)=0\iff \left(4+\pi \right)x-a\pi =0\iff x=\frac{a\pi }{4+\pi }$. Ta có BBT như sau:

Suy ra hàm S chỉ có một cực trị và là một cực tiểu tại  $x=\frac{a\pi }{4+\pi }$

Do đó S đạt giá trị nhỏ nhất tại $x=\frac{a\pi }{4+\pi }$

Đáp án cần chọn là: C