Cho các số thực x, y thỏa mãn . Giá trị nhỏ nhất m của biểu thức là

* Hướng dẫn giải

${\left(x-4\right)}^2+{\left(y-4\right)}^2+2xy\le 32$$\iff {\left(x+y\right)}^2-8\left(x+y\right)\le 0\iff 0\le x+y\le 8$

$A={\left(x+y\right)}^3-3\left(x+y\right)-6xy+6\ge {\left(x+y\right)}^3-\frac{3}{2}{\left(x+y\right)}^2-3\left(x+y\right)+6$

(do ${\left(x+y\right)}^2\ge 4xy\Rightarrow xy\le \frac{{\left(x+y\right)}^2}{4}\Rightarrow -6xy\ge -\frac{3}{2}{\left(x+y\right)}^2$ )

Xét hàm số $f\left(t\right)=t^3-\frac{3}{2}{t}^2-3t+6$ trên đoạn $\left[0;8\right]$ ta có:$f\text{'}\left(t\right)=3t^2-3t-3,f\text{'}\left(t\right)=0\iff t=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$

  (giá trị $\frac{1-\sqrt{5}}{2}\notin \left[0;8\right]$ nên loại)

Thực hiện tính toán ta có:

$f\left(0\right)=6,f\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)=\frac{17-5\sqrt{5}}{4},f\left(8\right)=398$

$\Rightarrow A\ge f\left(t\right)\ge \frac{17-5\sqrt{5}}{4}\Rightarrow A\ge \frac{17-5\sqrt{5}}{4}$

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là $\frac{17-5\sqrt{5}}{4}$ xảy ra khi  $\left\{\begin{array}{c}x+y=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\\ x=y\end{array}\right.\iff x=y=\frac{1+\sqrt{5}}{4}$

Đáp án cần chọn là: C