Xét tứ diện ABCD có các cạnh AC=CD=DB=BA=2 và AD, BC thay đổi. Giá trị lớn nhất

* Hướng dẫn giải

Chọn C

Gọi M, N lần lượt là trung điểm AD và BC.

Theo giả thiết ta có: ABD và ACD là các tam giác cân có M là trung điểm của AD nên:

Và có BM=CM => ΔMBC cân tại M

Trong tam giác ΔMBC có MN vừa là đường cao vừa là trung tuyến nên

Khi đó diện tích tam giác ΔMBC là:

Thể tích tứ diện ABCD là:

Đặt AD=2x, BC=2y ta có:

$V_{ABCD}=\frac{1}{6}.2x.2y.\sqrt{4-x^2-y^2}=\frac{2}{3}.\sqrt{x^2{y}^2\left(4-x^2-y^2\right)}\le \frac{2}{3}\sqrt{\frac{{\left(x^2+y^2+\left(4-x^2-y^2\right)\right)}^3}{27}}=\frac{16\sqrt{3}}{27}$

Dấu bằng xảy ra khi: $x^2 =y^2 = \sqrt{4-x^2-y^2}$

Vậy giá trị lớn nhất của thể tích khối tứ diện ABCD là: $\frac{16\sqrt{3}}{27}$