Cho hàm số y = f(x) = x^3 + 6x^2 + 9x + 3(C). Tồn tại hai tiếp tuyến của

* Hướng dẫn giải

Đáp án D

Gọi $M_1\left(x_1;f\left(x_1\right)\right);M_2\left(x_2;f\left(x_2\right)\right)$ là hai tiếp điểm mà tại đó tiếp tuyến có cùng hệ số góc

Ta có: $y\text{'}=3x^2+12x+9$

Khi đó:

$$\begin{gathered} k=3x_1^2+12x_1+9=3x_2^2+12x_2+9 \\ \iff \left(x_1-x_2\right)\left(x_1+x_2+4\right)\iff x_1+x_2=-4=S\left(1\right) \end{gathered}$$

Hệ số góc của đường thẳng $M_1{M}_2$ là:

$$\begin{gathered} k\text{'}=\pm \frac{OA}{OB}=\pm \frac{1}{2017}=\frac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1} \\ \iff \pm \frac{1}{2017}={\left(x_1+x_2\right)}^2-x_1{x}_2+6\left(x_1+x_2\right)+9 \\ \iff \left[\begin{array}{c}{x}_1{x}_2=\frac{2016}{2017}=P\\ x_1{x}_2=\frac{2018}{2017}=P\end{array}\right.\left(2\right) \end{gathered}$$

Với $\left\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2=-4=S\\ x_1{x}_2=\frac{2016}{2017}=P\end{array}\right.$, do $S^2>4P$ nên $\exists$ hai cặp $x_1,x_2\Rightarrow \exists 1$ giá trị k

Với $\left\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2=-4=S\\ x_1{x}_2=\frac{2018}{2017}=P\end{array}\right.$, do $S^2>4P$ nên $\exists$ hai cặp $x_1,x_2\Rightarrow \exists 1$ giá trị k

Kết luận: có 2 giá trị k