Cho hàm số y = (x + 1)/(-1 + x) có đồ thị (C). Tiếp tuyến tại điểm M bất kì

* Hướng dẫn giải

Đáp án C

Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang y = 1 $\left(d_1\right)$ và tiệm cận đứng x = 1 $\left(d_2\right)$

Gọi $A=d_1\cap d_2\Rightarrow A\left(1;1\right)$

$y\text{'}=\frac{1.\left(-1\right)-1.1}{{\left(-1+x\right)}^2}=-\frac{2}{{\left(x-1\right)}^2}$

Gọi $M\left(x_0;\frac{x_0+1}{x_0-1}\right)\in \left(C\right)$ ta có tiếp tuyến tại M của đồ thị hàm số là

$y=-\frac{2}{{\left(x_0-1\right)}^2}\left(x-x_0\right)+\frac{x_0+1}{x_0-1}\left(d\right)$

Cho $y=-\frac{2}{{\left(x_0-1\right)}^2}\left(1-x_0\right)+\frac{x_0+1}{x_0-1}$

$=\frac{2}{x_0-1}+\frac{x_0+1}{x_0-1}=\frac{x_0+3}{x_0-1}$

Gọi $B=d\cap d_2\Rightarrow B\left(1;\frac{x_0+3}{x_0-1}\right)$

Cho y = 1

$$\begin{gathered} 1=-\frac{2}{{\left(x_0-1\right)}^2}\left(x-x_0\right)+\frac{x_0+1}{x_0-1} \\ \iff 1=-\frac{2x}{{\left(x_0-1\right)}^2}+\frac{2x_0}{{\left(x_0-1\right)}^2}+\frac{x_0+1}{x_0-1} \\ \iff \frac{2x}{{\left(x_0-1\right)}^2}=\frac{2x_0}{{\left(x_0-1\right)}^2}+\frac{x_0+1}{x_0-1}-1 \\ \iff \frac{2x}{{\left(x_0-1\right)}^2}=\frac{2x_0+x_0^2-1-x_0^2+2x_0-1}{{\left(x_0-1\right)}^2}=\frac{4x_0-2}{{\left(x_0-1\right)}^2} \\ \iff x=2x_0-1 \end{gathered}$$

Gọi $C=d\cap d_1\Rightarrow C\left(2x_0-1;1\right)$

Tam giác ABC là tam giác vuông tại A có:

$$\begin{gathered} AB=\sqrt{{\left(\frac{x_0+3}{x_0-1}-1\right)}^2}=\frac{4}{\left|x_0-1\right|} \\ AC=\sqrt{{\left(2x_0-1-1\right)}^2}=\left|2x_0-2\right|=2\left|x_0-1\right| \\ \Rightarrow S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}AB.AC=\frac{1}{2}\frac{4}{\left|x_0-1\right|}.2\left|x_0-1\right|=4 \end{gathered}$$