Cho hàm số y = f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d có đồ thị như hình bên

* Hướng dẫn giải

Đáp án C

Hàm số $y=f\left(x\right)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$; $f\text{'}\left(x\right)=3a{x}^2+2bx+c$ có đồ thị như hình vẽ

Do đó $x=0\Rightarrow d=4;x=2\Rightarrow 8a+4b+2c+d=0$; $f\text{'}\left(2\right)=0\iff 12+4b+x=0$; $f\text{'}\left(0\right)=0\iff c=0$

Tìm được $a=1;b=-3;c=0;d=4$ và hàm số $y=x^3-3x^2+4$

Ta có:

$$\begin{gathered} g\left(x\right)=f\left(\sqrt{x^2+x+2}\right) \\ ={\left(\sqrt{x^2+x+2}\right)}^3-3\left(x^2+x+2\right)+4 \\ \Rightarrow g\text{'}\left(x\right)=\frac{3}{2}\left(2x+1\right)\sqrt{x^2+x+2}-3\left(2x+1\right) \\ =3\left(2x+1\right)\left(\frac{1}{2}\sqrt{x^2+x+2}-1\right) \\ g\text{'}\left(x\right)=0\Rightarrow \left[\begin{array}{c}x=-\frac{1}{2}\\ x=1\\ x=-2\end{array}\right. \end{gathered}$$

Bảng xét dấu của g(x):

Vậy g(x) nghịch biến trên khoảng $\left(\frac{-1}{2};0\right)$