Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = x^4 - 2mx^2 + m - 1

* Hướng dẫn giải

Đáp án A

Tập xác định: D = R

Ta có: $y\text{'}=4x^3-4mx=4x\left(x^2-m\right)$

Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị $\iff m\ge 0$

Khi đó: $y\text{'}=4m{x}^3-4mx=0\iff \left[\begin{array}{c}x=0\\ x=\pm \sqrt{m}\end{array}\right.$

Suy ra: Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị là

$$\begin{gathered} A\left(0;m-1\right);B\left(-\sqrt{m};-m^2+m-1\right); \\ C\left(\sqrt{m};-m^2+m-1\right) \end{gathered}$$

Ta có: $S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}\left|y_B-y_A\right|.\left|x_C-x_B\right|=m^2\sqrt{m}$

$AB=AC=\sqrt{m^4+m};BC=2\sqrt{m}$

Gọi R = 1 là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Diện tích tam giác ABC là:

$S_{\Delta ABC}=\frac{AB.AC.BC}{4R}=\frac{2\sqrt{m}\left(m^4+m\right)}{4}$

Suy ra $m^2\sqrt{m}=\frac{2\sqrt{m}\left(m^4+m\right)}{4}\iff 2m=m^3+1$

$\iff \left(m-1\right)\left(m^2+m-1\right)=0$

$\iff \left[\begin{array}{c}m=1\\ m^2+m-1=0\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{c}m=1\\ m=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\\ m=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\left(l\right)\end{array}\right.$

Vậy m = 1 hoặc $m=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$