Cho hàm số có đồ thị như hình bên:Giá trị nguyên lớn nhất của tham số m

* Hướng dẫn giải

Ta có:$y=f\left(\left|x\right|-m\right)=f\left(\sqrt{x^2}-m\right)$

$\Rightarrow y\text{'}=\frac{2x}{2\sqrt{x^2}}f\text{'}\left(\sqrt{x^2}-m\right)=\frac{x}{\sqrt{x^2}}f\text{'}\left(\sqrt{x^2}-m\right)$

Để hàm đồng biến trên $\left(10;+\infty \right)$ thì  $y\text{'}\ge 0\forall x\in \left(10;+\infty \right)$

$\Rightarrow \frac{x}{\sqrt{x^2}}f\text{'}\left(\sqrt{x^2}-m\right)\ge 0\forall x\in \left(10;+\infty \right)\Rightarrow f\text{'}\left(\sqrt{x^2}-m\right)\ge 0\forall x\in \left(10;+\infty \right)$  (*)

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy hàm số đồng biến trên $\left(1;+\infty \right)$ và $\left(-\infty ;-1\right)$ 

Do đó (*)  $\iff \left[\begin{array}{c}\sqrt{x^2}-m\ge 1\forall x\in \left(10;+\infty \right)\left(1\right)\\ \sqrt{x^2}-m\le -1\forall x\in \left(10;+\infty \right)\left(2\right)\end{array}\right.$

Xét (1) ta có  $m\le \sqrt{x^2}-1\forall x\in \left(10;+\infty \right)\Rightarrow m\le \underset{\left[10;+\infty \right)}{\min }\left(\sqrt{x^2}-1\right)$

Xét $g\left(x\right)=\sqrt{x^2}-1$ trên khoảng $\left(10;+\infty \right)$ ta có  $g\text{'}\left(x\right)=\frac{x}{\sqrt{x^2}}>0\forall x\in \left(10;+\infty \right)$, do đó hàm số đồng biến trên  $\left(10;+\infty \right)\Rightarrow \underset{\left[10;+\infty \right)}{\min }\left(\sqrt{x^2}-1\right)=g\left(10\right)=9\iff m\le 9$

Xét (2) ta có  $m\ge \sqrt{x^2}+1\forall x\in \left(10;+\infty \right)\Rightarrow m\ge \underset{\left[10;+\infty \right)}{\max }\left(\sqrt{x^2}+1\right)$

Do $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2}+1\right)=+\infty$ nên hàm số đã cho không có GTLN trên $\left[10;+\infty \right)$, do đó không tồn tại m thỏa mãn (2).

Vậy $m\le 9$ nên giá trị nguyên lớn nhất của m bằng 9.

Đáp án cần chọn là: C