Cho x, y là các số thực thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

* Hướng dẫn giải

Ta có:$2^{x+y-1}\left(3^{x+y}+1\right)=3x+3y+1$

$\iff 2^{x+y}\left(3^{x+y}+1\right)=6x+6y+2$

$\iff 6^{x+y}+2^{x+y}=6\left(x+y\right)+2$

Đặt $x+y=t$, phương trình trở thành  $6^t+2^t=6t+2\iff 6^t+2^t-6t-2=0$

Xét hàm số $f\left(t\right)=6^t+2^t-6t-2$ ta có:

$f\text{'}\left(t\right)=6^t.\ln 6+2^t.\ln 2-6$

$f\text{'}\text{'}\left(t\right)=6^t.{\ln }^{2}6+2^t.{\ln }^{2}2>0\forall t\in R$

Do đó hàm số $y=f\text{'}\left(t\right)$ đồng biến trên R, suy ra phương trình $f\text{'}\left(t\right)=0$ có nhiều nhất 1 nghiệm

Suy ra phương trình $f\left(t\right)=0$ có nhiều nhất 2 nghiệm.

Ta lại có $\left\{\begin{array}{c}f\left(0\right)=6^0+2^0-6.0-2=0\\ f\left(1\right)=6^1+2^1-6.1-2=0\end{array}\right.$ do đó phương trình $f\left(t\right)=0$ có đúng 2  nghiệm t = 0, t = 1.

$\Rightarrow \left[\begin{array}{c}x+y=0\\ x+y=1\end{array}\right.$

TH1: $x+y=0\Rightarrow y=-x$ thay vào P ta có:  $P=x^2+xy+y^2=x^2\ge 0$

TH2: $x+y=1\Rightarrow y=1-x$ thay vào P ta có:

$P=x^2+x\left(1-x\right)+{\left(1-x\right)}^2=x^2-x+1$ $={\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}\ge \frac{3}{4}$  

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 0, đạt được khi x + y = 0

Đáp án cần chọn là: D