Cho hàm số có đồ thị là . Gọi là một điểm bất kì trên (C)

* Hướng dẫn giải

Đặt  $M\left(x;\frac{x+1}{x-1}\right)\in \left(C\right)$

Khi đó ta có:  $\left\{\begin{array}{c}d\left(M;Ox\right)=\left|y_M\right|=\left|\frac{x+1}{x-1}\right|\\ d\left(M;Oy\right)=\left|x_M\right|=\left|x\right|\end{array}\right.$

Tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ là  $S=\left|x\right|+\left|\frac{x+1}{x-1}\right|\ge \left|x+\frac{x+1}{x-1}\right|$

Dấu bằng xảy ra khi  $x.\frac{x+1}{x-1}\ge 0\iff \left[\begin{array}{c}x>1\\ -1\le x\le 0\end{array}\right.$

Đặt  $f\left(x\right)=x+\frac{x+1}{x-1}=\frac{x^2+1}{x+1}$

$\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=\frac{x^2-2x-1}{{\left(x-1\right)}^2}=0\iff \left[\begin{array}{c}x=1-\sqrt{2}\\ x=1+\sqrt{2}\end{array}\right.$

Bảng biến thiên:

Dựa vào BBT ta thấy  $\left|x+\frac{x+1}{x-1}\right|\ge \left|2-2\sqrt{2}\right|=2\sqrt{2}-2$

Dấu bằng xảy ra khi  $x=1-\sqrt{2}\Rightarrow y=1-\sqrt{2}\Rightarrow x_M+y_M=2-2\sqrt{2}$

Đáp án cần chọn là: B