Gọi M, N lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn

* Hướng dẫn giải

Hàm số xác định trên  $\left[0;4\right]$

Ta có:$f\left(x\right)=\left|x-3\right|\sqrt{x+1}=\sqrt{\left(x+1\right){\left(x-3\right)}^2}$

Xét hàm số $g\left(x\right)=\left(x+1\right){\left(x-3\right)}^2$ trên đoạn $\left[0;4\right]$ ta có:

$g\text{'}\left(x\right)={\left(x-3\right)}^2+\left(x+1\right).2\left(x-3\right)$

$g\text{'}\left(x\right)=\left(x-3\right)\left(x-3+2x+2\right)$

$g\text{'}\left(x\right)=\left(x-3\right)\left(3x-1\right)$

$g\text{'}\left(x\right)=0\iff \left[\begin{array}{c}x=3\in \left[0;4\right]\\ x=\frac{1}{3}\in \left[0;4\right]\end{array}\right.$

Ta có  $g\left(0\right)=9,g\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{256}{27};g\left(3\right)=0;g\left(4\right)=5$

Vậy$\iff \left\{\begin{array}{c}M=\underset{\left[0;4\right]}{\max }f\left(x\right)=\sqrt{g\left(\frac{1}{3}\right)}=\frac{16\sqrt{3}}{9}\\ N=\underset{\left[0;4\right]}{\min }f\left(x\right)=\sqrt{g\left(0\right)}=0\end{array}\right.\Rightarrow M+2N=\frac{16\sqrt{3}}{9}$

Đáp án cần chọn là: A