Có tất cả bao nhiêu giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số = 2/3x^3

* Hướng dẫn giải

Đáp án A

TXĐ: D = R

Ta có hàm số $y=\frac{2}{3}{x}^3-m{x}^2-2\left(3m^2-1\right)x+\frac{2}{3}$ có đạo hàm là $y\text{'}=2x^2-2mx-2\left(3m^2-1\right)$

Cho $y\text{'}=0\iff 2x^2-2mx-2\left(3m^2-1\right)=0$

$\Rightarrow x^2-mx-3m^2+1=0 \left(1\right)$

Để hàm số có 2 điểm cực trị thì phương trình (1) phải có 2 nghiệm phân biệt

Phương trình (1) có hai nghiệm khi và chỉ khi

$$\begin{gathered} \Delta =m^2+3m^2-1>0 \\ \iff 4m^2-1>0\iff \left[\begin{array}{c}m>\frac{1}{2}\\ m<-\frac{1}{2}\end{array}\right. \end{gathered}$$

Khi đó hai điểm cực trị $x_1,x_2$ của hàm số chính là hai nghiệm phân biệt của phương trình (1). Áp dụng định lí Viet ta có: $\left\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2=m\\ x_1.x_2=1-3m^2\end{array}\right.$

Theo bài ra ta có:

$$\begin{gathered} x_1{x}_2+2\left(x_1+x_2\right)=1 \\ \iff 1-3m^2+2m=1 \\ \iff 3m^2-2m=0 \\ \iff \left[\begin{array}{c}m=0\left(ktm\right)\\ m=\frac{2}{3}\left(tm\right)\end{array}\right. \end{gathered}$$