Cho hàm số y = x^4 - 2mx^2 + 3m + 2. Tất cả các giá trị của m để đồ thị

* Hướng dẫn giải

Đáp án A

$$\begin{gathered} y\text{'}=4x^3-4mx \\ y\text{'}=0\iff 4x^3-4mx=0 \\ \iff 4x\left(x^2-m\right)=0\iff \left[\begin{array}{c}x=0\\ x^2=m\end{array}\right. \\ \iff \left[\begin{array}{c}x=0\\ x=\pm \sqrt{m}\left(1\right)\end{array}\right. \end{gathered}$$

Hàm số $y=f\left(x\right)$ có 3 cực trị.

$\iff y\text{'}=0$ có 3 nghiệm phân biệt.

$\iff \left(1\right)$ có 2 nghiệm phân biệt khác 0

$\iff m>0$

Gọi ba điểm cực trị của hàm số lần lượt là: $A\left(0;a\right);B\left(-\sqrt{m};b\right),C\left(\sqrt{m};c\right)$. Khi đó:

$$\begin{gathered} + x=0\iff A\left(0;3m+2\right) \\ + x=-\sqrt{m} \\ \Rightarrow y={\left(-\sqrt{m}\right)}^4-2m.{\left(-\sqrt{m}\right)}^2+3m+2 \\ =m^2+2m^2+3m+2 \\ =-m^2+3m+2\Rightarrow B\left(-\sqrt{m};-m^2+3m+2\right) \\ + x=\sqrt{m}\iff y=-m^2+3m+2 \\ \Rightarrow C\left(\sqrt{m};-m^2+3m+2\right) \end{gathered}$$

Ta luôn có: AB = AC nên tam giác ABC đều

$$\begin{gathered} \iff AB=BC\iff A{B}^2=B{C}^2 \\ \iff {\left(-\sqrt{m}\right)}^2+{\left(-m^2\right)}^2={\left(2\sqrt{m}\right)}^2+0^2 \\ \iff m+m^4=4m\iff m^4-3m=0 \\ \iff m\left(m^2-3\right)=0\iff \left[\begin{array}{c}m=0\\ m=\sqrt[3]{3}\end{array}\right. \end{gathered}$$

Kết hợp với điều kiện $m>0\Rightarrow m=\sqrt[3]{3}$