Cho hàm số y = x^4 + 2(1 - m^2).x^2 + m + 1. Tất cả các giá trị của m để

* Hướng dẫn giải

Đáp án C

$$\begin{gathered} y\text{'}=4x^3+4\left(1-m^2\right)x \\ y\text{'}=0\iff 4x^3+4\left(1-m^2\right)x=0 \\ \iff 4x\left(x^2+1-m^2\right)=0 \\ \iff \left[\begin{array}{c}x=0\\ x^2=m^2-1\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{c}x=0\\ x=\pm \sqrt{m^2-1}\end{array}\right. \end{gathered}$$

Điều kiện để hàm số có 3 cực trị: $m^2-1>0\iff \left[\begin{array}{c}m>1\\ m<-1\end{array}\right.$

$$\begin{gathered} x=0\Rightarrow A\left(0;m+1\right) \\ x=-\sqrt{m^2-1} \\ \Rightarrow y={\left(-\sqrt{m^2-1}\right)}^4+2\left(1-m^2\right){\left(-\sqrt{m^2-1}\right)}^2+m+1 \\ \Rightarrow y={\left(m^2-1\right)}^2-2{\left(m^2-1\right)}^2+m+1 \\ =-{\left(m^2-1\right)}^2+m+1 \\ \Rightarrow B\left(-\sqrt{m^2-1};-{\left(m^2-1\right)}^2+m+1\right) \\ x=\sqrt{m^2-1}\Rightarrow C\left(\sqrt{m^2-1};-{\left(m^2-1\right)}^2+m+1\right) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} S_{ABC}=4\sqrt{2}\iff \frac{1}{2}AH.BC=4\sqrt{2} \\ \iff \left|y_A-y_C\right|.\left|HC\right|=4\sqrt{2} \\ \iff \left|y_A-y_C\right|.\left|x_C\right|=4\sqrt{2} \\ \iff \left|m+1+{\left(m^2-1\right)}^2-m-1\right|.\sqrt{m^2-1}=4\sqrt{2} \\ \iff {\left(m^2-1\right)}^2.\sqrt{m^2-1}=4\sqrt{2} \\ \iff {\left(m^2-1\right)}^5=32\iff m^2-1=2 \\ \iff m^2=3\iff m=\pm \sqrt{3} \end{gathered}$$

$m=\pm \sqrt{3}$ thỏa  mãn điều kiện $\left[\begin{array}{c}m>1\\ m<-1\end{array}\right.$