Cho hàm số y = x^4 - 2mx^2 + m^2 + m. Tất cả các giá trị của m để đồ thị

* Hướng dẫn giải

Đáp án A

$$\begin{gathered} y\text{'}=4x^3-4mx \\ y\text{'}=0\iff 4x^3-4mx=0 \\ \iff 4x\left(x^2-m\right)=0\iff \left[\begin{array}{c}x=0\\ x=\pm \sqrt{m}\end{array}\right. \end{gathered}$$

Điều kiện để hàm số có 3 cực trị: m > 0

$$\begin{gathered} x=0\Rightarrow A\left(0;m^2+m\right) \\ x=-\sqrt{m} \\ \Rightarrow y={\left(-\sqrt{m}\right)}^4-2m{\left(-\sqrt{m}\right)}^2+m^2+m \\ =m^2-2m^2+m^2+m=m\Rightarrow B\left(-\sqrt{m};m\right) \\ x=\sqrt{m}\Rightarrow C\left(\sqrt{m};m\right) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \overrightarrow{AB}=\left(-\sqrt{m};-m^2\right),\overrightarrow{AC}=\left(\sqrt{m};-m^2\right);\widehat{BAC}=120° \\ \iff \frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}{\left|\overrightarrow{AB}\right|.\left|\overrightarrow{AC}\right|}=\cos 120° \\ \iff \frac{-m+m^4}{\sqrt{m+m^4}.\sqrt{m+m^4}}=-\frac{1}{2} \\ \iff 2\left(m^4-m\right)=-\left(m+m^4\right) \\ \iff 3m^4-m=0\iff m\left(3m^3-1\right)=0 \\ \iff \left[\begin{array}{c}m=0\left(l\right)\\ m=\frac{1}{\sqrt[3]{3}}\end{array}\right. \end{gathered}$$