Cho hàm số y = 2x^3 - 3(m + 1)x^2 + 6mx. Tìm m để đồ thị hàm số có hai

* Hướng dẫn giải

Đáp án C

$y\text{'}=6x^2-6\left(m+1\right)x+6m$

Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B $\iff$ phương trình $y\text{'}=0$ có hai nghiệm phân biệt

$$\begin{gathered} \iff \Delta \text{'}=9{\left(m+1\right)}^2-36m>0 \\ \iff 9m^2-18m+9>0\iff 9{\left(m-1\right)}^2>0 \\ \iff m\ne 1 \end{gathered}$$

Khi đó: $y=y\text{'}.\left(\frac{1}{3}x-\frac{m+1}{6}\right)+\left[4m-{\left(m+1\right)}^2\right]x+m\left(m+1\right)$

Đường thẳng AB: $y=\left[4m-{\left(m+1\right)}^2\right]x+m\left(m+1\right)$ có hệ số góc $k=4m-{\left(m+1\right)}^2$

Đường thẳng d: y = x - 9 có hệ số góc k = 1

$$\begin{gathered} AB\perp d\iff \left[4m-{\left(m+1\right)}^2\right].1=-1 \\ \iff 4m-m^2-2m-1=-1 \\ \iff -m^2+2m=0\iff \left[\begin{array}{c}m=0\\ m=2\end{array}\right. \end{gathered}$$