Cho hàm số y = -x^3 + 3mx^2 - 3m - 1 với m là tham số thực. Tìm giá trị

* Hướng dẫn giải

Đáp án D

Ta có:

$$\begin{gathered} y\text{'}=-3x^2+6mx=-3x\left(x-2m\right); \\ y\text{'}=0\iff \left[\begin{array}{c}x=0\\ x=2m\end{array}\right. \end{gathered}$$

Để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị $\iff m\ne 0$

Khi đó gọi $A\left(0;-3m-1\right)$ và $B\left(2m;4m^3-3m-1\right)$ là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.

Suy ra trung điểm của AB là điểm $I\left(m;2m^3-3m-1\right)$ và $\overrightarrow{AB}=\left(2m;4m^3\right)=2m\left(1;2m^2\right)$

Đường thẳng d có một vec tơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left(8;-1\right)$

$$\begin{gathered} Ycbt\iff \left\{\begin{array}{c}I\in d\\ \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{u}=0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{c}m+8\left(2m^3-3m-1\right)-74=0\\ 8-2m^2=0\end{array}\right.\iff m=2 \end{gathered}$$