Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số y = mx^3 - (2m - 1)x^2

* Hướng dẫn giải

Đáp án C

Để đồ thị hàm số $y=m{x}^3-\left(2m-1\right)x^2+2mx-m-1$ có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục hoành thì phương trình $m{x}^3-\left(2m-1\right)x^2+2mx-m-1=0$ (*) phải có 3 nghiệm phân biệt.

Ta có:

$$\begin{gathered} m{x}^3-\left(2m-1\right)x^2+2mx-m-1=0 \\ \iff \left(x-1\right)\left[m{x}^2-\left(m-1\right)x+m+1\right]=0 \\ \iff \left[\begin{array}{c}x=1\\ m{x}^2-\left(m-1\right)x+m+1=0(**)\end{array}\right. \end{gathered}$$

Để (*) có ba nghiệm phân biệt thì (**) phải có 2 nghiệm phân biệt khác 1.

$$\begin{gathered} \iff \left\{\begin{array}{c}m\ne 0\\ m.1-\left(m-1\right).1+m+1\ne 0\\ \Delta ={\left(m-1\right)}^2-4m\left(m+1\right)>0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{c}m\ne 0\\ m-m+1+m+1\ne 0\\ m^2-2m+1-4m^2-4m>0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{c}m\ne 0\\ m\ne -2\\ -3m^2-6m+1>0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{c}m\ne 0\\ m\ne -2\\ \frac{-3-2\sqrt{3}}{3}<m<\frac{-3+2\sqrt{3}}{3}\end{array}\right. \end{gathered}$$

Mà $m\in Z\Rightarrow m=-1$

Vậy có 1 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.