Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên R và có bảng xét dấu f'(x) như sau

* Hướng dẫn giải

Đáp án D

Đặt $g\left(x\right)=f\left(x^2-2x\right)$. Ta có $g^{\text{'}}\left(x\right)=\left(2x-2\right)f^{\text{'}}\left(x^2-2x\right)$

$$\begin{gathered} g^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}x=1\\ x^2-2x=-2\\ x^2-2x=1\\ x^2-2x=3\end{array}\right. \\ \iff \left[\begin{array}{l}x=1\\ x^2-2x+2=0\\ x^2-2x-1=0\\ x^2-2x-3=0\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=1\\ x=1\pm \sqrt{2}\\ x=-1\\ x=3\end{array}\right. \end{gathered}$$

Trong đó các nghiệm -1, 1, 3 là nghiệm bội lẻ và $1\pm \sqrt{2}$ là nghiệm bội chẵn. Vì vậy hàm số g'(x) chỉ đổi dấu khi đi qua các nghiệm -1, 1, 3.

Ta có $g^{\text{'}}\left(0\right)=-2f^{\text{'}}\left(0\right)<0$ (do $f^{\text{'}}\left(0\right)>0$).

Bảng xét dấu g'(x)

Vậy hàm số $y=f\left(x^2-2x\right)$ có đúng 1 điểm cực tiểu là x = 1