Trong không gian Oxyz, cho tứ diện đều ABCD có A(0;1;2). Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (BCD).

* Hướng dẫn giải

Do ABCD là tứ diện đều nên H là trọng tâm tam giác BCD và I trùng với trọng tâm G của tứ diện ABCD. Ta có:

\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {GA}  + 3\overrightarrow {GH}  = \overrightarrow 0 \\
\overrightarrow {IA}  + 3\overrightarrow {IH}  = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {IA}  =  - 3\overrightarrow {IH} 
\end{array}\)

Từ đó ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}
{x_A} - {x_I} =  - 3\left( {{x_H} - {x_I}} \right)\\
{y_A} - {y_I} =  - 3\left( {{y_H} - {y_I}} \right)\\
{z_A} - {z_I} =  - 3\left( {{x_H} - {x_I}} \right)
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_I} = \frac{{{x_A} + 3{x_H}}}{4} = 3\\
{y_I} = \frac{{{y_A} + 3{y_H}}}{4} =  - 2\\
{z_I} = \frac{{{z_A} + 3{z_H}}}{4} =  - 1
\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {3; - 2; - 1} \right)\)