Hàm số \(f(x) = x\sqrt {x + 1} \) có một nguyên hàm là F(x). Nếu F(0) = 2 thì F(3) bằng bao nhiêu ?

* Hướng dẫn giải

Ta có: \(\int {x\sqrt {x + 1} \,dx} \)

Đặt \(t = \sqrt {x + 1}  \Rightarrow {t^2} = x + 1\)\(, \Leftrightarrow x = t{}^2 - 1\)

\( \Rightarrow dx = d\left( {{t^2} - 1} \right) = 2t\,dt\)

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}\int {x\sqrt {x + 1} \,dx} \\ = \int {\left( {{t^2} - 1} \right)t.2tdt} \\ = 2\int {\left( {{t^4} - {t^2}} \right)dt} \\ = 2\left( {\dfrac{{{t^5}}}{5} - \dfrac{{{t^3}}}{3}} \right) + C\end{array}\)

Với \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \to t = 1\\x = 3 \to t = 2\end{array} \right.\)         

Theo giải thiết \(F\left( 0 \right) = 2 \Rightarrow 2\left( {\dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{3}} \right) + C = 2 \)\(\,\Leftrightarrow C = \dfrac{{34}}{{15}}\)

Khi đó \(F\left( {x = 3} \right) = F\left( {t = 2} \right) \)\(\,= 2\left( {\dfrac{{{2^5}}}{5} - \dfrac{{{2^3}}}{3}} \right) + \dfrac{{34}}{{15}} = \dfrac{{146}}{{15}}.\)